Вы добавляете элементу новый класс, но не вешаете, на этот элемент, новое событие. Во вторых, если элемент не пересоздается в DOM, то надо переопределить элементу новое собитие по клику.
$(".first_class").click(function() {
$(this).addClass('second_class');
$(this).removeClass('first_class');
$(this).click(function() {
// do smth
});
});