Cowboy — это логика на Erlang/Elixir. Nginx — логика на чем угодно.
Соответственно плюсы и минусы вытекают из этого. Если вы не умеете готовить Erlang/Elixir, если у вас самое обычное веб-приложение «запрос-ответ» и нет необходимости в вебсокетах — ваш выбор Nginx. Никакие плюсы Cowboy того не стоят.
Erlang и Elixir прекрасны. Но для 99% веб-приложений они излишни.
Александр Королев: когда большая часть логики — просто пересылка данных между большим количеством клиентов. Чаты, аудио и видеостриминг (erlyvideo), бэкенды для мобильных приложений.
Если вокруг этого нужен какой-то относительно несложный веб — есть Phoenix, это почти рельсы, но немного менее изящные в силу языка.
nginx - проксирует, балансирует, раздаёт, шифрует + куча приятных мелочей, + удобный конфиг, + куча тонких настроек.
cowboy - лишь один из вариантов как послушать 80 порт на эрланге.