Если спасли каталог с базами и логами, то вам повезло. Устанавливайте на новом сервере Postgres, вместо новосозданного каталога с данными подсовывайте свой и запускайте службу.
У меня была чем-то похожая ситуация. На сервере стало заканчиваться место. Мы добавили диск, скопировали все данные постгреса на новый раздел, подправили пути в конфигах и после запуска все заработало на ура - не могу вспомнить что бы какие-то сложности вылезли.
P.S. То что вы не делали бекапы - это плохо. Сейчас бы не мучались, а просто развернулись с архивчика.
Средний
