Делаю запрос с помощью sslstream к серверу, получаю ответ
HTTP/1.1 200 OK
...
Set-Cookie: name=value; path=/
Как мне занести в переменную значение куки?
Response можете юзать напрямую? Там используется синтаксис типа string cookieValue = response.Cookies["name"];
Иначе - читаете поток до конца, полученную строку пробегаете регуляркой. Начало: "Set-Cookie: ", конец - "; path=/".