Морфологический поиск - это поиск, который учитывает морфологию (род, число, падеж и т.п.).
Полнотекстовый поиск - это поиск по всему тексту, используя полнотекстовый индекс. Суть такого индекса сводится, упрощенно, к созданию некоторой структуры (пригодной для быстрого по ней поиска), содержащей в себе слова из текста.
Зачастую системы полнотекстового поиска поддерживают и морфологию (ведь у нас все равно текст превращается в слова, почему бы и нет?).
Реализация этих поисков может быть самая разная. Можно использовать, например,
Sphinx, а можно FULLTEXT-поиск в MySQL, который тоже поддерживает морфологию. Или костыли: взять морфологический анализатор текста (например,
pymorphy) и прикрутить его между запросами к SQLite.