На форму вешается обработчик onsumit, и дальше уже, делается ajax запрос. Функцию запроса можно состряпать самому (см ответ от
Владислав Павлов), или же глянуть в сторону библиотеки jquery или js фреймворка prototypejs
при этом положить массив с значениями в LocalStorage, чтобы затем можно было заполнять input, чтобы пользователь не потерял данные при хождении по страницам.
Хранить можно где угодно, можно в сессии, можно в БД, можно и в локальном хранилище. Все зависит условий и поставленной задачи. Имею ввиду, если это данные профиля юзера например, то о локальном хранилище и речи быть не может.
ибо легче запомнить html код со значениями, и затем просто вставить его?
html запоминать не надо, нужно запоминать значения.