Есть два способа:
- Получать их на бекенде через API: читать
- Получать на фронте с помощью JS, пример с обычной формой (но можно и через AJAX такой посылать запрос):
<form method="post" action="http://c1api.hypercomments.com/api/comments">
<input type="text" name="data" value='{"stream":"streamstart","widget_id":98339,"xid":"yii2-i18n","limit":1,"filter":"all"}'>
<input type="submit">
</form>
В обоих вариантах вам нужен возвращаемый параметр "cm2", в нем то и содержится кол-во комментариев в статье.
Но по второму варианту есть одно "но", он не задокументирован в официальном API, так что сейчас он работает, а через время может перестать работать. Но за неимением пока хорошо и так)