Все верно, CF по умолчанию не возвращает данные из своих полей (только имена полей). Чтобы CF возвращал данные,
необходимо явно разрешить это для каждого созданного поля, например так:
use Carbon_Fields\Field;
Field::make('text', $key, $this->meta_labels[$key])
->set_visible_in_rest_api(true);