Почему сумма ряда Тейлора не верна?

Question

[Nikidze]

Необходимо разложить функцию cos^2(x) в ряд Тейлора и сравнить со значением, полученным через стандартные функции. Делаю:

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

double p(int n, double x) {
    return (-4 * x * x) / ((2*n + 1) * (2*n + 2));
}

int main()
{
        double x = 20;
        double s = 1;
        double st = -x*x;
        double eps = pow(10, -15);
        int k;
        for(k = 1; abs(st) > eps; ++k) {
                s += st;
                st *= p(k, x);
        }
        cout << s << endl;
        cout << cos(x)*cos(x)<<endl;
        return 0;
}

При x до 20 значения выходят такие же, или близкие. При x больше 20, значения абсолютно разные. Это из-за погрешности в вычислениях? Или я что-то не так делаю? Спасибо.

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Мне лень высчитывать, но вообще-то у ряда Тейлора есть понятие области сходимости.
Может 20 уже за её пределами?

[Александр Ананьев]

Косинус повторяется с периодом 2pi. Нет смысла его вычислять в интервале, отличном от [0..2pi]. Любое значение аргумента надо сводить к этому интервалу.

[U235U235]

Александр Ананьев, более того: нет смысла его вычислять на интервале отличном от [0..pi/2]
pow(10, -15) это шедевр! ТС не умеет записать double с мантиссой и порядком. 1e-15

Answer 1

[shurshur]

Формула Тейлора имеет смысл лишь в небольшой окрестности рассматриваемой точки, и чем меньше окрестность, тем выше точность величины, которая рождает формула. Естественно, x=20 находится в очень даже большой, просто огромной окрестности точки x=0, в которой было взято разложение исходного квадратного косинуса.

Можно улучшить точность, если перевести аргумент в интервал периодичности значения (0,2pi), затем в (0,pi) с учётом знака, затем в (0,pi/2) с учётом симметрии относительно pi/2, затем в (0,pi/4) с заменой синуса на косинус, если аргумент превышает pi/4. Это уже будет намного лучше, но если аргумент заметно отличается от нуля, то точность просядет очень быстро.