Синхронно это можно сделать так:
var text = 'Привет, мир!';
var u8a = new TextEncoder().encode(text);
var chars = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789+/';
var bytes = u8a, i, len = bytes.length, base64 = '';
for (i = 0; i < len; i += 3) {
base64 += chars[bytes[i] >> 2];
base64 += chars[((bytes[i] & 3) << 4) | (bytes[i + 1] >> 4)];
base64 += chars[((bytes[i + 1] & 15) << 2) | (bytes[i + 2] >> 6)];
base64 += chars[bytes[i + 2] & 63];
}
if (len % 3 === 2) {
base64 = base64.substring(0, base64.length - 1) + '=';
}
else if (len % 3 === 1) {
base64 = base64.substring(0, base64.length - 2) + '==';
}
console.log(base64);
Асинхронно через FileReader:
https://learn.javascript.ru/file#filereader
P. S. Асинхронный способ:
var text = 'Привет, мир!';
var blob = new Blob([ text ]);
var reader = new FileReader();
reader.readAsDataURL(blob);
reader.onload = function() {
var base64 = reader.result.split(',')[1];
console.log(base64);
};