Технология называется WakeOnLan.
1. Эта фишка должна поддерживаться БИОС компьютера, который нужно включать. И ее надо там включить. Называться в БИОСе может по разному, зависит от фантазии разработчика БИОС. Пробуждение возможно только через проводной сетевой адаптер, соединение компа с сетью должно быть через провод. ВайФай не канает. Комп, естественно, должен быть включен в электрическую и локальную сети.
2. После этого протестируйте внутри локальной сети. Для отправки WoL пакетов используйте свободное ПО, можно погуглить.
3. На роутере надо настроить проброс определенного UDP порта на широковещательный внутренний адрес.
4. Для пробуждения компьютера вам понадобиться МАС адрес сетевого адаптера компа, который надо пробуждать, и внешний IP адрес роутера. Для отправки WoL пакетов из интернет есть свободное ПО с возможность работы через интернет (это важно, т.к. формируются разные UDP пакеты для случая LAN и WAN), а так же встречал и сайты, которые это умеют делать.
Встречал подробные инструкции в интернете, но в большей части описано только для локальной сети (т.к. сама технология изначально предназначалась для использования в LAN).
Некоторые роутеры поддерживают WoL, т.е. там достаточно нажать галку и проброс портов настроится автоматически. Но это не обязательно.