Почему при умножении чисел типа float теряется один десятичный порядок на каждой итерации и как этого избежать?

Question

[nishe]

Вся проблема кода находится в функции Bakery_map. При вычислении арифметических операций программа теряет один знак после запятой. Как этого избежать?

int float_comparison_N(float a, float b, int N) {

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        a *= 10;
        b *= 10;
        if ((int)a != (int)b) return 0;
        a -= (int)a;
        b -= (int)b;
    }
    return 1;
}


float Bakers_map(float x) {

    if (x < 0.5)
        return 2.0 * x;
    else
        return 2.0 * x - 1.0;
}

int main() {

    setlocale(LC_ALL, "Rus");

    float a = 0.2324325;
    float b = 0.2324325;

    while (a==b)
    {
        a = Bakers_map(a);
        b = Bakers_map(b);
        std::cout << std::setprecision(100) << a << "\t\t\t";
        std::cout << std::setprecision(100) << b << std::endl;
    }


    return 0;
}

Пример выходных данных:
0.4648649990558624267578125                     0.4648649990558624267578125
0.929729998111724853515625                      0.929729998111724853515625
0.85945999622344970703125                       0.85945999622344970703125
0.7189199924468994140625                        0.7189199924468994140625
0.437839984893798828125                 0.437839984893798828125
0.87567996978759765625                  0.87567996978759765625
0.7513599395751953125                   0.7513599395751953125
0.502719879150390625                    0.502719879150390625
0.00543975830078125                     0.00543975830078125
0.0108795166015625                      0.0108795166015625
0.021759033203125                       0.021759033203125
0.04351806640625                        0.04351806640625
0.0870361328125                 0.0870361328125
0.174072265625                  0.174072265625
0.34814453125                   0.34814453125
0.6962890625                    0.6962890625
0.392578125                     0.392578125
0.78515625                      0.78515625
0.5703125                       0.5703125
0.140625                        0.140625
0.28125                 0.28125
0.5625                  0.5625
0.125                   0.125
0.25                    0.25
0.5                     0.5
0                       0
0                       0
0                       0
0                       0

Answer 1

[Rsa97]

Представление любого числа в компьютере состоит из конечного числа битов. Умножая число на 2, вы просто сдвигаете его на один бит влево, заполняя младший (правый) бит нулём. А поскольку вы вычитаете единицу, если она образовалась, то с каждой итерацией в вашем числе всё меньше значащих битов.

0.140625 = 0.001001₂
0.140625 * 2 = 0.28125 = 0.010010₂
0.28125 * 2 = 0.5625 = 0.100100₂
0.5625 * 2 - 1 = 0.125 = 0.001000₂
0.125 * 2 = 0.25 = 0.010000₂
0.25 * 2 = 0.5 = 0.100000₂
0.5 * 2 - 1= 0 = 0.000000₂

Comments

[Adamos]

Есть один маленький нюансик в этом вопросе.
В выводе десятичные цифры, а не биты.
Однако число таки аккуратно укорачивается на один знак после запятой на каждой итерации...

[Rsa97]

Adamos, А вы возьмите отрицательные степени двойки, соответствующие битам, и обнаружите, что каждая следующая степень длиннее ровно на один разряд.
0.1₂ = 2^-1 = 0.5
0.01₂ = 2^-2 = 0.25
0.001₂ = 2^-3 = 0.125
...
Просто потому, что мы каждый раз делим пятёрку в последнем десятичном разряде пополам.

[Adamos]

Rsa97, ну разумеется.
Однако на этом этапе следует coup de grace:
"А как же тогда, начав, скажем, с 0,7 - мы получим в ответе 0,4, не потеряв последний разряд?" - и смотрим с хитрым прищуром в широко распахнутые, наполняющиеся отчаянием глаза...
Не сомневаюсь, что вы легко ответите на этот вопрос.
А вот ТС - вряд ли ;)

[Rsa97]

Adamos, Элементарно. Число 0.7 не представимо в машинной форме. Вместо него записывается 0.6999999999999999555910790149937383830547332763671875

[Adamos]

Rsa97, повторяю, в вашей способности ответить на этот вопрос я и не сомневался.
Правда, обсуждается float, а не double, так что дробь будет покороче - 0.699999988079071044921875

Answer 2

[Николай Савельев]

Никак. Это основа устройства компьютеров.
Изучай основы почему такое происходит.
P.S. Я теперь понимаю почему у нас Хром жрёт всю память, а простейшие Notepad и прочие жрут больше 100 мегов памяти. Помнится, винда 3.0 полностью умещалась на харде в 40 МЕГАБАЙТ! - Размер одной картинки в современном смартфоне. А там даже проводник был и Notepad

Answer 3

[Adamos]

Прекрасная задача для собеседования, я так считаю.