на сколько я могу понять для мыла у них есть только один метод mail.getUnreadCoun который "Возвращает количество непрочитанных писем в почтовом ящике."
У почты mail.ru нет открытого документированного HTTP API, ссылка выше на API "Моего мира" поэтому почтовых функций там нет, можно посмотреть вызовы API в веб или мобильных приложениях, но работоспособность такого способа никто не гарантирует. Правильней для ваших целей использовать IMAP или POP3.
Есть необходимость получать информацию о новых письмах, брать информацию из заголовка и содержимого письма.
если вам просто нужен удобное извлечение информации с почтового сервера то для этого можно использовать гималаи(himalaya)
настраиваетесь на нужный почтовый сервер и затем несколькими командами в консоли получаете необходимое, например:
получить инфу по новым/непрочитанным письмам: himalaya search new
или himalaya search not seen
прочитать тело письма под номером 23 himalaya read 23
для более детального понимания смотри ихнюю вики
если нужен ответ в виде json-a то просто добавляете вначале флаг --output json, например: himalaya --output json search not seen
на у далее уже обрабатываете json удобными для вас средствами, например тем же jq, ну или запрячь какой-либо язык программирования для разбора
