Как правильно перераспределить место на диске в linux?

4 - extended partition, включающая свободные 877кб (внутри extended partition) и остаток под раздел со свопом - 10,5гб
свободное неразмеченное пространство в 5967мб уже после идёт

На скриншоте - parted doisk free -показываем свободное место как 10,5 GB (4)

вам бы перед тем как практиковаться с разметкой диска стоило бы немного разобраться с основными понятиями в этой области, например что такое mbr и gpt, primary и extendet разделы, таблица разделов и файловая система.
По поводу самой разбивки то она довольна странная, если это типа просто пример то он сравни сферическому коню в вакууме. Если уж кромсать то стоит удалить расширенный раздел(sda4) внутри которого находиться своп(sda5), освободившееся место 10г + не размеченная область за ним в 6г даст в сумме 16 гиг на которые уже без труда можно будет расширить раздел sda3(/home). Если своп нужен то можно просто подключить его как файл.

Еще вычитал, что ext4 нельзя сразу расширять, нужно загружаться с live cd. Или все таки можно как- то расширить без live cd???

как говориться, нельзя, но если очень хочется, - то можно.
можете глянуть один из моих ответов на подобную тему. Это в принципе ваш случай, когда можно размонтировать домашний раздел sda3 и растянуть его до конца диска, естественно перед этим удалив ненужный раздел sda4.
Расширение же смонтированного раздела да и еще в живую с работающей на нём системой тоже возможно, хоть более хлопотно и рискованно но всё же возможно, описание примерных действий можешь посмотреть в этом ответе.