Первый способ сводится к тому, чтобы послать запрос и получить ответ. Все. (если нет капчи)
Второй способ:
Выбрать инструмент для работы со страницей (selenium, puppeteer etc)
Изучить документацию как работать с элементами формы на странице
Заполнять форму и жать на кнопку
Вот если грубо ))
Но опять же ваше начинание упрется в капчу скорее всего.
Тем не менее это единственный вариант. По крайней мере мне в свое время не удалось это победить. Придется лепить проверки типа такого: