Устанавливаете расширение greasemonkey/tempermonkey или любой другой, позволяющий инжектить (запускать по условию) ваш скрипт на страницу, для отладки вы вообще можете в консоли браузера скрипт вставлять без расширений.
Затем скрипт ищет на странице поля ввода и кнопки примерно так $('#inputbox_id') и получаете/устанавливаете его содержимое .value или .text (для textbox), на кнопку нажимаете .click(), т.е. вся возня со скриптом у вас должна быть вокруг того чтобы не делать эти действия сразу друг за другом (это могут проверять для защиты от автоматизации в общем случае) а с интервалом и контроль над различными ошибками (например код формы изменился).
Иногда просто установить значение полей ввода не достаточно, нужно симулировать нажатия клавиатуры, в этом случае либо формируете события браузера с помощью keyboardEvent либо просто подсмотрите, какие методы вызываются на эти события и вызывайте их самостоятельно.
Чтобы узнать какие css селекторы у нужных вам полей, в браузере достаточно нажать правую кнопку мыши (иногда с shift) и выбрать inspect element, в открывшемся инструменте разработчика можно правой кнопкой мыши выбирать нужные элементы страницы и в контекстном меню выбирать copy/css selector или что вам угодно.
Управлять своим скриптом со стороны лучше по http/websocket на ваш сервер (вам придется поднимать https версию если вебсайт ее тоже использует)
