Проверяете доступность сайта или его dns-записей службой проверки из различных точек мира или с помощью различных dns-серверов. Или временно прописываете IP сайта у себя в файле hosts и проверяете работоспособность сайта со своей машины.
И в почте Яндекса, и в mail.ru, и в Gmail можно отвечать со стороннего адреса и в веб-интерфейсе. В первых двух должен быть предоставлен полный доступ к стороннему ящику со сбором всей почты с него (по крайней мере, так было пару лет назад). Gmail в этом отношении лучше и гибче. Чтобы отвечать из Gmail со стороннего адреса, не обязательно настраивать сбор всей почты из ящика с этим адресом, можно настроить пересылку с него на Gmail по какому-нибудь фильтру. В Gmail есть настройка: отвечать по умолчанию с адреса на который пришло письмо (если отправка писем с соответствующего адреса разрешена).
Alexey Dmitriev, это уже тонкости формулировки. Я лишь имел ввиду, что браузерные расширения не имеют отношения к пониманию «как работает». (Хотя, как может работать браузерное расширение, если несколько доменов разрешаются в один адрес, я не понимаю.)
/ru/.htaccess
.