Максим Тимофеев

Там сделано на svg. Возможно подключена какая-то библиотека для анимации svg, там явно сборщик стоит, поэтому js минифицированны и объединены сложно однозначно сказать. Но главное, что берем svg (или генерим его в js), а далее smil анимация или css transform + keyframes или js.

делаем массив с числами, читаем кол-во элементов массива, дергаем случайный ключ, при этом убирая это значение из массива.

Смотря на чем Вы делаете? Если это обычное html5 видео, то у него есть событие окончания и цепляясь за него запускаем новое.
https://www.google.com/search?q=html5+video+events...

Вычислять ширину родителя, сравнивать с суммой ширины пунктов + margin + padding, если одно больше другого добавлять стрелки. Или инициализировать какой-то готовый слайдер. Тот же slick или owl. Главное, что бы слайдер умел выводить несколько блоков.

Нужно верстать отдельно блок. Замахаешься стилизовать кроссбраузерно input type="range".

Не понимаю куда div-у url пихать, но допустим:

$('div').each(function(i,el){
       $(el).text(myArray[i].link);
});

api.jquery.com/jquery.each

api.jquery.com/queue

А поиск отключили за неуплату?
https://yandex.ru/search/?text=jquery%203%20slider...
https://medium.com/@krissanawat/30-best-jquery-3d-...

transition и background-size

1. с трудом понимаю что Вы хотите сделать и чем не устраивает то что Вы написали
2. Вместо if в подобном случае используют switch case

switch($_POST[$q]){
    case "active": 
         $result = 'что-то';
         break;
    case "Ляляля": 
         $result = 'что-то Ляляля';
         break;
    default:
        $result = 'на хрен с пляжа'; 
}
echo $result;

php.net/manual/ru/control-structures.switch.php

Проверять кол-во дочерних и добавлять класс ему или родителю, что бы не центрировал

{$count=$dir.child|@count}
<a class="{if $count > 0}text-center{else}text-left{if}">

То что Вы ищите это 2 разных решения: пагинация + ленивая загрузка.
Поиск знает кучу готовых скриптов:
js plugin pagination
js plugin lazyload

И ещё момент. Каждый том содержит много html-тегов (жирный текст, курсив и т.д.). Как правильнее реализовать механизм "закрывания" тегов? Ведь тег может быть в теге. Нужно учесть глубину вложения тегов. И для каждого прописать закрывающий тег...

Не надо закрывать, надо просто не резать теги. Отсчитали 1000 символов, проверили, сколько не закрыто, дождались закрытия, отсекли. На деле механизм не простой, куча нюансов, так что проще взять готовое.

1. У вас ajax должен выполняться по клику на элемент с id=bet, такого в коде нет. Так что должно по Вашему произойти?
2. Какой смысл Вы преследуете этой записью
$("#bet").click(function game() {
почему не
$("#bet").click(function() {
а еще лучше
$("#bet").on('click',function() {

Все что можно сделать средствами css - делаем через css, все остальное js
Конечно речь не идет о костылях. Но большую часть вопросов связанных с адаптивностью css берет на себя без проблем. Меньшая часть решается css+js. И только очень редкие случаи требуют чистого js.

в атрибутах перенос строки нельзя, ай-ай-ай. Сделайте скрытый блок и туда кидайте или в localStorage

С траекториями проще всего юзать svg:
https://css-tricks.com/guide-svg-animations-smil/#...
https://codepen.io/SaraSoueidan/pen/184082960ac3cc...
А вот jquery plugin, что бы уйти от SMIL, но все равно траектория в svg, ведь это мега удобно:
https://www.jqueryscript.net/animation/jQuery-Plug...

https://d3js.org/