Похоже, эта задача решается обходом в ширину на модифицированном графе. Пусть l длина искомой строки.
Тогда постройте граф на n*m*l вершин. Каждая вершина соответствует тройке (x, y, k) и означает, что мы как-то походили по полю и оказались в координате (x, y), при этом набрав первые k символов искомой строки. Переходы в графе тут такие: от каждой вершины можно пойти в 4 соседние по координатам, а количество символов увеличивается на 1, если в следующей вершине читается следующая буква строки. Т.е. переходы вида (x, y, k) -> (x+1, y, k + (s[k] == grid[x+1][y] ? 1 : 0)); (x, y, k) -> (x, y+1, k + (s[k] == grid[x][y+1] ? 1 : 0)) и еще 2 на минус (если x,y не у стенки поля, естественно - некоторые переходы могут отсутствовать).
Ищите кратчайшее расстояние из вершины (x0, y0, s[0] == grid[x0][y0] ? 1 : 0) в любую вершину с третим индексом равным l (т.е. любое место, где вы прочтете всю искомую строку). Поскольку в графе все ребра длины 1, можно запускать bfs. Граф строить и охранить не надо, можно эти 4 перехода вычислять неявно. Кладите в очередь тройки чисел, вынимайте их оттуда и вычисляйте до 4 соседних троек, которые гужно тоже сложить в очередь обхода в ширину. Удобно завести 2 костантных массива на 4 элемента, которые будут хранить приращения по x и по y в каждую их четрех сторон. Тогда не будет много дублируемого кода.
Еще понадобится, таки, массив на n*m*l для хранения расстояния, или хотя бы пометок о том, что вершина уже в очередь была положена.