Проблема: в выдачу попадают не только результаты по итоговому слову, но и иногда вместе с ними - результаты частично введенного словаА что собственно не так? Хочешь получать один результат правь поиск на стороне бэкенда до полного совпадения или отфильтровывай массив результатов на фронте.
$('#form__on_page_search').on('input', function() {
clearTimeout(timer);
timer = setTimeout(function() {
live_search_js();
}, 200);
});