Из готовых решений —
JShot, он умеет в дропбокс заливать. правда раздражают ненужные окошки, приходится вручную кликать, чтобы залить изображение и скопировать ссылку в буфер.
Скрипт скорее всего можно написать с использованием Dropbox API.
Если есть свой сервер — советую
Gyazo на собственном сервере, мне нравится.