Есть хороший пример уже реализованного подобного сайта -
https://healthchecker.net/. Особых технологий для реализации не нужно. Нужна большая база знаний, симптомы заболеваний, и много ручной работы. Поэтому я бы на вашем месте немного подумал нужно ли вам это. По технологиям можно конечно приспособить и нейронные сети. Думаю на каком-то этапе они даже будут необходимы. Но для начала достаточно php, mysql и какой-нибудь простенький сервер чтоб это все работало.