Владимир

Отдавайте вместе со страницей после обработки post-запроса куки, показывающие, что этот пользователь эту форму уже отправлял. А в обработчике проверяйте ее наличие: нет куки - обрабатывает, есть - сообщает, что не нужно отправлять эти данные еще раз.
Автозаполнение полей формы можно запретить в параметрах тега input с помощью атрибута autocomplete="off" или autocomplete="new-password". Если по каким-то причинам это не то, что нужно, то можно повесить очищающий поля формы обработчик на страницу, как вам показали выше. А вообще, тут уже было когда-то -

Я бы либо разрезал все регуляркой либо построил DOM страницы и перевел бы текст, а потом собрал бы все обратно в html.

1. Чтобы проверить, авторизован ли пользователь, вам нужно проверять наличие $_COOKIE['user'] в тех скриптах, которые отдают закрытые страницы. Если его нет, то отдаете либо редирект куда-нибудь, либо страницу 403.
2. В logincheck.php условие if(count($user) == 0) никогда не сработает, т.к. если пользователь не найден, то $mysql->query() вернет false, а вы получите ошибку "trying to get property of non-object" при вызове $result->fetch_assoc(). Чтобы этого не происходило, нужно использовать if($result) для проверки наличия такого пользователя.
3. Условие if(count($user) == 1) сработает, внезапно, тогда, когда у вас пользователь найден. В результате вы его ни за что пошлете в пень.

Правильно должно быть примерно вот так:

if($result){
  // пользователь с таким логином и паролем есть, поехали
  $user = $result->fetch_assoc(); // Конвертируем в массив
  setcookie('user', $user['name'], time() + 3600, "/");
  $mysql->close();
  header('Location: news.php');
}else{
  // нет такого пользователя
  exit("Логин или пароль введены неверно");
}

ЗЫ
Хранить пароль в чистом виде - очень плохая идея, необходимо его хешировать, причем с солью.

У вас или где-то висит обработчик onclick, который подавляет реакцию на щелчок по ссылке, или где-то пропущен закрывающий (или открывающий) тег, который мешает браузеру правильно пострjить DOM. Посмотрите в отладчике браузера, что появляется в консоли по щелчку.