Всем спасибо за помощь и советы, в итоге повнимательнее почитал документацию firebase и понял, что метод once возвращает callback функцию после выполнения запроса. Там уже сделал присвоение this.name.
На кнопке явно висит функция, которая закрывает окно. Добавьте условие, когда при наличии ошибок эта функция игнорируется. Пусть даже так if(document.getElementById('name_error')!='').
Понимаю, что не вовремя, но может кто-нибудь будет искать ответ)) . Нужно создать Property Node -> Value (Signaling) и ему присваивать значение, тогда ивент сработает.
Навскидку - можно сделать remove action на woocommerce_cart_contents и повесить свою функцию вывода на хук woocommerce_before_cart_contents. Функцию брать отсюда, 44 строка ( https://github.com/woocommerce/woocommerce/blob/ma... ) и менять так, чтобы выводились товары по нужным категориям, вроде должно работать.