Ставь "console.log()" в обработчиках "success" и "error".
Аналогично, в самом начале php-файла сделай лог массива $_REQUEST и посмотри передалось ли что.
И вообще, твой php-шный код не выдаёт никакого результата работы.) Т.е. после отправки почты сервер никак не сигнализирует клиенту об этом. В самом простейшем случаем там должно быть что-то вроде "echo true;".