Добрый вечер.
Вот тут всё не так
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO `users` (`user_id`, `login`, `password`, `name`, `email`)
VALUES ('', '$name', '$password', '$name', '$email')");
echo 'Регистрация прошла успешно';
Нельзя напрямую подставлять значения в запрос, переменные в запросе в одинарных кавычках, нет проверки на успешность выполнения запроса.
Попробуйте хотя бы так
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO `users` (`login`, `password`, `name`, `email`)
VALUES ('".$name."', '".$password."', '".$name."', '".$email."')");
if($result){
echo 'Регистрация прошла успешно';
}
else{
// выводите ошибку
}
Экранируйте данные перед подстановкой в запрос.
Пароль в открытом виде в базу не пишите.