secretsergey

Можно попробовать так:

$('#button-main').click(function(){
  $('#button-1').trigger("click");
  $('#button-2').trigger("click");
  $('#button-3').trigger("click");
});

Если не поможет, то разбираться с объектом event. Будет что-то примерно такое:

var event = document.createEvent("MouseEvents");
        event.initEvent("click", true, true); 
        event.synthetic = true; 
        document.getElementById('button-1').dispatchEvent(event, true);

лучше скинь всю страницу на каком-нить тестовом домене, проще будет посмотреть и понять где потерялись данные.

+ лучше забивать в экшн формы адрес скрипта, так без жс сможет отработать.
+ использовать Formdata объект и работать с ним.

на первый взгяд, раз по твоим словам данные уходят, может, поставить /mail.php ?

header("location: $URL");

Либо, в крайнем случае,

echo "<meta http-equiv=\"refresh\" content=\"0;url=$URL\"/>";