romanu4

Для решения твоей задачи воспользуемся селектором :target и событием onhashchange...

<div class="btn-group">
  <button type="button" class="btn btn-default dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" aria-expanded="false">
    Action <span class="caret"></span>
  </button>
  <ul class="dropdown-menu" role="menu">
    <li title="Action" id="action" ><a href="#action">Action</a></li>
    <li title="Another action" id="aaction"><a href="#aaction">Another action</a></li>
    <li title="Something else here" id="some"><a href="#some">Something else here</a></li>
    <li class="divider"></li>
    <li title="Separated link" id="separ"><a href="#separ">Separated link</a></li>
  </ul>
</div>

<script>
window.onhashchange = function(e){ 
	        var secure = '; secure';
/* имя поля куки */
	        var name = 'menu';
/* ложим пункт меню в шапку сайта */
	        document.title  = document.getElementById(window.location.hash.substring(1)).title; 
/* ложим пункт меню в куки сайта */
	        document.cookie = [   name, '=', encodeURIComponent(document.title), secure].join('');
});
</script>

<style>
/* CSS */
 li[id]:target {
    /* здесь позиционируеш блок li в шапке меню */
}
</style>

Вы неправильно ставите куку

//получить куку user
cookie("user");

// установить куку "user" равную "john"
cookie("user", "John");

// установить куку "user" равную "john" на 24 часа
cookie("user", "John", 24);

// установить куку "user" равную "john" на 1 месяц для пути "/"
cookie("user", "John", 24 * 30, "/");

// установить куку "user" равную "john" на 1 месяц для страницы "auth"  домена ".example.net"
cookie("user", "John", 24 * 30, "/", ".example.net");

Я не понимаю, почему кука не ставиться кроссбраузерно, вероятно вы не правильно написали ф-цию?
Через простой
document.cookie
все успешно устанавливается.

Поделюсь с вами двумя гистами, эти ф-ции я взял из учебника по js, может помогут, получить куку, задать куку.

проблема в том, что куки через эти браузеры не устанавливаются, вот и не получаете. а почему не устанавливается - это уже другой вопрос, ответ на который можно получить лишь если вы напишите как устанавливаете эти куки, ибо нет тут экстрасенсов

Правильно – завернуть в отдельный скоуп. Например, в самовызывающейся функции:

(function () {
  var foo = "bar";
})();
console.log(foo); // Uncaught ReferenceError: foo is not defined

Тысячи способов. :)
Например:

MyPerfectNameForObj = function () {
	currentWins: function () {
		var wins = cookie('wins'); //сохраним результат сразу вместо того, чтобы запрашивать 2 раза
		if (wins > 1) {
			this.counter = wins;
		} else {
			this.counter = 1;
		}
	}
}
MyPerfectNameForObj.currentWins();

MyPerfectNameForObj.counter; // получить доступ к counter

А в чем проблема? Если проблема в верстке, то можно использовать какой-нибудь фреймворк, например: bootstrap, в котором такая разметка реализуется, с помощью ряда+3 стобцов.

Каждой кнопке в data-* атрибут можно указать ее ID.
Дальше подписать кнопки на событие клика и при обработке получать номер кнопки и сверять с номером ответа.

Загружать картинку, показывать \ скрывать текст, менять текст кнопок - все легко реализуется с помощью того же jQuery.
(просто меняем css \ value)

Если заморачиваться, можно подключить фреймворк и для работы JS. (например какой-нибудь Аngular?)

кстати, вот нормальная ф-ция для работы с куками

function cookie(key, value, days, path, domain) {
  var expires = new Date(),
    pattern = "(?:; )?" + arguments[0] + "=([^;]*);?",
    regexp = new RegExp(pattern);
  if (key && value !== undefined) {
    var str = key + '=' + encodeURIComponent(value);
    if (days) {
        expires.setTime(expires.getTime() + (days * 24 * 60 * 60 * 1000));
        str += '; expires=' + expires.toGMTString();
    }
    if (path)    str += '; path=' + path;
    if (domain)  str += '; domain=' + domain;
    return document.cookie = str;
  }
  else if (regexp.test(document.cookie)) return decodeURIComponent(RegExp["$1"]);
  return false;
}

cookie("user", "John Doe"); //установить куку user
cookie("user"); // получить куку user