Антон Спирин

Неправильно. По-хорошему у вас должно быть состояние корзины с объектами описывающими позиции. Как минимум это количество и id продукта:

{
  product_id: "223af-b4535-54e21-31233-12a122-b453d",
  quantity: 2.
}

По ним уже циклом и отображают позиции корзины, подставляя нужные товары.
Total будет надежней считать в редьюсере. Значение total надо пересчитывать заново при каждом добавлении/удалении позиций из корзины и изменении их количества. Для этого будет удобно складывать в объект позиции еще и цену товара.

Так будет лучше:

function fetchProductBySlug(slug) {
  return async dispatch => {
    dispatch({ type: FETCH_PRODUCT_BY_SLUG });
    try {
      const { data } = await axios.get(`/products/${slug}`);
      dispatch({ type: FETCH_PRODUCT_BY_SLUG_SUCCEEDED, payload: data });
    } catch (err) {
      dispatch({ type: FETCH_PRODUCT_BY_SLUG_FAILED, payload: mapAxiosError(err) });
    }
  }; 
}

export default function product(state = initialState, action) { 
  switch(action.type) {
    case FETCH_PRODUCT_BY_SLUG:
      return {
        ...state,
        isFetching: true,
        error: null,
      };

    case FETCH_PRODUCT_BY_SLUG_SUCCEEDED:
      return {
        ...state,
        product: action.payload,
        isFetching: false,
        error: null,
      };

    case FETCH_PRODUCT_BY_SLUG_FAILED:
      return {
        ...state,
        isFetching: false,
        error: action.payload,
      };

    default:
      return state;
  }
}

Почему dispatch не срабатывает?

Потому что вы его не вызываете.

Замените строку:
setProductComments(/* ... */);
на:
this.props.setProductComments(/* ... */);
или на:

this.props.dispatch(setProductComments(/* ... */));

Чтобы первый вариант работал, измените mapDispatchToProps:

const mapDispatchToProps = {
  setProductComments,
};

Еще вы импортируете в actions и reducer типы действий, но пишите в type строки хардкодом. Не надо так.
Запросы к API принято выносить в async actions.

AWS: Deploy NodeJS web app
AWS: Deploy React app

В плане так их надо передать в редюсер для ошибок, а в компоненте следить за изменением этого редюсера...

Не надо. Ошибку и состояние загрузки можно обрабатывать в том же редьюсере, что и токен.

const initialState = {
  isFetching: false,
  token: null,
  error: null,
};

function auth(initialState, action) {
  switch(action.type) {
    case LOGIN_REQUEST:
      return {
        ...state,
        isFetching: true,
        error: null,
      };

    case LOGIN_SUCCEEDED:
      return {
        ...state,
        isFetching: false,
        token: action.payload,
      };

    case LOGIN_FAILED:
      return {
        ...state,
        isFetching: false,
        error: action.payload,
      };

    default:
      return state;
  }
}

Будет ли правильным делать запросы из компонента?

Не будет.

Ведь так при ошибке мы может её сразу добавить в стейт errors компонента и всё.

Не ясно зачем вам вообще добавлять ошибку в state.

const mapStateToProps = state => ({
  error: loginErrorSelector(state),
});

render() {
  const { error } = this.props;

  if (error) return <TryAgain error={error} action={login} />;
  
  return ( /* ... */ );
}

1. Для инициации перехода на новый роут без перезагрузки страницы, следует вызывать:
this.props.history.push('/user');
2. И справьте первый route на:
<Route exact path="/" component={Form} />
Если используете свойство render(в вашем случае в этом нет смысла), то передавайте аргументом свойства роутера:

<Route exact path="/" render={routeProps => <Form {...rotueProps} />} />

3. Никакой redux-router вам не нужен.
4. Не ленитесь изучать возможности библиотек с которыми работаете. Нативные ссылки не имеют никакого отношения к роутеру вашего приложения. Советую изучить исходный код всех компонентов библиотеки react-router-dom. Так у вас хоть будет понимание того как он работает.
5. Вы закомментили вызов const state = createStore();. Верните обратно.
6. Уберите из проекта JQuery. Для AJAX запросов используйте axios/superagent/fetch.
7. Запросы к API по-хорошему выполнять в redux middleware. Советую использовать redux-thunk

Как преобразовать ее в класс, чтобы добавить state с параметром загрузки, который потом можно было бы получать в других частях приложения?

Срочно изучайте теорию.

Пример решения:

export const getResourcesAction = () => async (dispatch, getState) => {
  const { resources } = getState();
  if (isEmpty(resources)) {
    try {
      dispatch({ type: LOAD_RESOURCES_REQUEST });

      const res = await fetch('/api/resources/all', { credentials: 'include' });
      const data = await res.json();
      dispatch({
        type: LOAD_RESOURCES_SUCCEEDED,
        payload: {
          resources: data,
        },
      });
    } catch (error) {
      dispatch({
        type: LOAD_RESOURCES_FAILED,
        payload: {
          error,
        },
      });
    }
  }
};

const initialState = {
  isFetching: false,
  data: [],
  error: null,
};

export default function resourcesState(state = initialState, action) {
  switch (action.type) {
    case LOAD_RESOURCES_REQUEST:
      return {
        ...state,
        isFetching: true,
        error: null,
      };
    case LOAD_RESOURCES_SUCCEEDED:
      return {
       data: action.payload.resources,
        isFetching: false,
      };
   case LOAD_RESOURCES_FAILED:
      return {
        ...state,
        isFetching: false,
        error: action.payload.error,
      };
    default:
      return state;
  }
}

Как вариант решения, перенести Provider выше по древу:

const ConnectedContainer =  connect(mapStateToProps, mapDispatchToProps)(Container);

ReactDOM.render(
  <Provider store={store}>
    <ConnectedContainer />
  </Provider>,
  document.getElementById("params"),
);

Но почему-то, при загрузке компонента Artobjects, первым из actions вызывается getArtObjects, а потом уже loadUser. Из-за этого, action getArtObjects не может получить данные о юзера из глобального стейта, тк. появляются они позже.

Метод componentDidMount вызывается после того как были смонтированы все дочерние компоненты, естественно
componentDidMount компонента Artobjects вызывается раньше. Но даже если было бы наоборот, то не факт, что результат запроса loadUser возвращался бы раньше вызова getArtObjects. Почитайте про асинхронное программирование, вы явно не до конца понимаете фундаментальные основы.

Такие важные для всего приложения данные, как данные пользователя, лучше начинать загружать как можно раньше. И это можно делать до монтирования корневого компонента:

const store = configureStore();

store.dispatch(clientInit());  // тут

const Root = () => (
  <Provider store={store}>
    <Router>
      <App />
    </Router>
  </Provider>
);

А до получения этих данных вы можете показывать прелоадер и монтировать Artobjects только после их получения.

{isInitialDataFetching ? <Preloader /> :  this.renderContent()}

В файле 'actions/filter.js' нет экспорта по-умолчанию.
Исправить можно так:
import { setFilter } from "../actions/filter";

Действие и должно проходить через все редьюсеры.

Почитайте про библиотеку react-redux, без которой использовать Redux совместно с React не надо.

Искользовать Middleware. Есть очень простая и популярная библиотека redux-thunk.
Статья на эту тему.

Lifting State Up

Правильно работать с состоянием, а не вычислять его по данным из DOM.
В хранении состояния форм в хранилище Redux нет особого смысла.

const AuthRoute = ({ component: Component, render, isSignedIn, ...rest }) => (
  <Route {...rest} render={props => {
    if (!isSignedIn) return (
      <Redirect to={{
        pathname: "/signin",
        state: { referrer: props.history.location.pathname }
      }} />
    );

    if (render) return render({ ...props });

    return <Component {...props} />;

  }} />
);

const mapStateToProps = state => ({
  isSignedIn: isSignedInSelector(state),
});

export default connect(mapStateToProps)(AuthRoute);

<AuthRoute path="/admin" component={Admin} />

Ну и совсем простое решение без переадресации:

<Switch>
  {isSignedIn && <Route path="/admin" component={Admin} />}
  <Route path="/partner/:name" component={Partner}/>
  <Route component={() => <div>page not found</div>} />
</Switch>