Laravel как запустить процесс демон?

Не совсем понятно, что за

обработчика бота

ИМХО, правильным решением является использование вебхуков телеграма, тогда и не понадобятся демоны.

Как добавить данные в FormRequest?

Вам не кажется - такой инструмент есть и он описан в доке

protected function prepareForValidation()
{
    $this->merge([
        'name' => $your_val
    ]);
}

Как упомянуть пользователя в группе telebot?

@ + имя пользователя. Конкатенация строки на вашем ЯП.

Как телеграм ботом получить участников группы?

В том вопросе, насколько я понял используется обертка над TDlib.
Это официальная библиотека от Телеграмма - тыц
Устанавливается на host - тыц
А затем используется через FFI.
Есть "рекомендованные" обертки - тыц

Как получить красивый url в Laravel?

1 . DevTools, проверить глазами нормально ли ссылка сформировалась
2. Дебаг - смотреть зашел ли запрос в контроллер, если да, то что вернул запрос

Как получить красивый url в Laravel?

Какой запрос отдает 404 и порядок роутов в web.php?

Чем (принято) регулировать вертикальные отступы между элементами?

CAMOBAP4UK,
Отличие margin от padding понимаю)).
Дополнил вопрос. Вы бы в этом примере - чем воспользовались?

Чем (принято) регулировать вертикальные отступы между элементами?

Спасибо за мнение.