Максим Федоров

Укажите CSRF-токен в настройках Ajax, например:

var csrfParam = $("meta[name=csrf-param]").attr("content");
var csrfValue = $("meta[name=csrf-token]").attr("content");
$.ajaxSetup({    
    headers: {csrfParam: csrfValue} 
});

Вопрос, в классе формы Car мне нужно получить доступ для сохранения данных в Bike.

Создаете объект модели Bike записываете данные в него, линкуете с объектом Car

ajaxblog.ru/php/rabbitmq-tutorial

echo Menu::widget([
    'items' => [
        [
            'label' => '<a><i class="fa fa-home"></i> Home </a>',
            'url' => ['default/index'],
            'encode' => false
        ],
    ]
]);

если такой вариант не подходит - тогда необходимо искать расширение позволяющее задавать отдельно иконку, либо писать свое

Как по мне создание справочника кодов бессмысленная и геморройная вещь.
Почему геморройная - Вы сами на этот вопрос ответили.
Почему бессмысленная: Вы думаете что клиенты будут обращаться в техподдержку и сразу говорить код ошибки? на практике такого не будет... клиент обратившись просто скажет "Я тут клацнул кнопку а оно перестало работать", и сотрудникам поддержки все равно придется уточнять что и как там у него случилось. Так что как-бы коды ничего не изменят. К тому же по началу справочник будет добросовестно вестись, а в процессе эксплуатации клиент/начальник скажет какому-то программисту Васе - запили как фичу на проекте по быстрому, он ее сделает но в справочник данные не внесет, ибо нафик ему нужен этот гемор. Поэтому как бы актуальность справочника скорее всего на практике пострадает.

Зачем вообще коды? Возникла ошибка - вернули 500 статус и описание проблемы, записали подробную информацию в лог и все. Обратился клиент в тех. поддержку - посмотрели что за исключение возникло, посмотрели его stack-trace в логе и все. Грамотно сформированный лог + система поиска по нем решают все проблемы с поддержкой.

Какое оптимальное количество запросов в БД в yii2?

На этот вопрос нет ответа, все зависит от проекта и его функциональности поэтому никто Вам не скажет конкретную цифру. Чем меньше запросов тем лучше.

И обнаружил что этот самый модуль делает порядка 35 запросов в базу.

Насколько я понимаю к таблицам в которых хранятся RBAC-данные, в таком случае необходимо включить их кэширование

Подскажите как хранить такие типы данных?

Как сказал Dmitry Zalevskiy хранить такие данные нужно в трех таблицах. Поиск осуществлять соответственно с помощью JOIN а что касается индексов, то рекомендую почитать вот эти две статьи
Индексы в MySQL
Как использовать индексы в JOIN запросах Mysql

В результате при запуске происходит вывод всех постов у текущего пользователя, но увы не происходит Лимита (3) - как указано в контроллере , а также нет отображения виджета пагинаци в виде. Ошибок не возникает...

И не может произойти, лимит указывается на основную выборку а не реляцию ... т.е. по факту Вы хотите создать по одной пагинации для каждого пользователя?

Пытаюсь применить GridView, но не понимаю как вывести связь с таблицей posts

GridView::widget([
    'dataProvider' => $dataProvider,
    'columns' => [
        'posts.title',
        'posts.text'
    ]
]);

Количество запросов увеличилось из того что Вы в конструкторе модели делаете запрос. Соответственно когда Вы делаете выборку моделей (для GridView) получаете массив моделей и у каждой из них вызывается конструктор с запросом. Хотите решить проблему - убирайте запрос из конструктора в другое место

Собственно как и раньше необходимо передавать id выбранной категории в контроллер с помощью адресной строки, потом из контроллера передавать их в поисковую модель, ну и в поисковой модели необходимо объявить соответствующее свойство и делать по нему поиск.

1. Создайте реляции между ActiveRecord'ами этих таблиц
2. Загрузите данные с помощью реляций
3. Посчитайте количество загруженных данных