делать GET запрос на
https://www.instagram.com/_имя_пользователя_/?__a=1
в хедере обязательно x-requested-with: XMLHttpRequest
в ответ получаете JSON, где последние 12 фотографий будут в USER -> MEDIA -> NODES
С поиском по хештегу примерно так же, но чуть-чуть сложнее.