Если файл как-то зависит от отправляемых юзером данных(содержит их), то лучше всего написать скрипт-прокси.
Общий алгоритм скрипта такой:
1) Принимаем данные с формы.
2) Сохраняем в гугл-форму.
3) Выдаем файл юзеру.
Если файл к данным не привязан, то тут либо AJAX, как подсказали выше, либо просто пропускаем второй пункт.
Чтиво:
1) Как отдавать файлы с помощью пхп:
habrahabr.ru/post/151795
2) Постим данные в гугл-формс:
https://wiki.base22.com/pages/viewpage.action?page...
По последней ссылке разбирается пример на JS, но общий смысл схож. Используйте curl.