Кому интересно - вот решение:

if (empty($_POST["email"])) {
    $errors['email'] = "Не заполнено обязательное поле";
  } elseif ( filter_var($_POST["email"], FILTER_VALIDATE_EMAIL) === false) { 
    $errors['email'] = "формат почтового ящика неправильный";
  } else {
    $email = test_input($_POST["email"]);
  }

Надо было убрать отрицание перед filter_var($_POST["email"]... и т.д.
И задавать шаблон/ образец, как было в примере w3school, не надо.
Все работает так, как нужно.