newpy

$routeCollection = Route::getRoutes();

foreach ($routeCollection as $value) {
    echo $value->getPath();
}

Route::getByName()
Route::getByAction()

Смотри в Ларавел API класс Route и RouteCollection, методы доступны через фасады

Symfony
https://symfony.com/

https://laravel.com/docs/5.2/eloquent-relationship...
в классе модели, отношения задают методы например hasMany(), hasOne(), belongsTo()
Пример из документации:
belongsTo принимает три параметра, два последних необязательны (нужны если вы хотите переопределить ключи), смотрите документацию EloquentORM, ссылка выше.

public function user()
{
    return $this->belongsTo('App\User', 'foreign_key', 'other_key');
}

Во первых скорей всего перепутали порядок передаваемых параметров:
первым идет foreign_key, вторым local_key.
Во-вторых могли перепутать еще и сущности, судя по вашим словам.

class News
public function company()
{
     return $this->hasMany('App\Company', 'id', 'source_id');
}

class Company
public function news()
{
     return $this->belongsTo('App\News');
}

В-третьих: стоило бы для понимания описать отношения между вашими сущностями. Потому как ваши слова только запутывают. Опишите сущности Company и News. Например: многим/одной Компании может принадлежать много Новостей, множество Новостей могут принадлежать одной/многим Компаниям. Так как собственно от этого зависит как правильно описать отношения (relations) в моделях. Уверен если на бумажке черканёте себе таким простым текстом, то и вам станет понятнее что и где прописывать, и как правильно.

С чего вы решили что просто переименовав файлы blade.php на twig у вас будет twig работать?
У Ларавел свой шаблонизатор. Для того чтобы пользоваться твигом, надо его подключать. Надо подключить Twig в ядре приложения. А не просто переименовать файлы или установить его.

Другой вопрос зачем вам это, если уже есть шаблонизатор встроенный? Надо реально понимать отличия или необходимость, чтобы прийти к замене одного шаблонизатора на другой.

И причем тут твиг и перенаправление на авторизацию? Твиг на это никак не влияет. Вам уже ответили что перенаправление на авторизацию срабатывает из-за добавленной в конструктор контроллера строки $this->middleware('auth'). Этим самым вы вызываете middleware авторизации, что означает что, пока вы не авторизуетесь, у вас контроллер не будет работать.

Вы смысл того что вы пишите понимаете? Или стоит все таки разобраться с основами?
Если разобрались, тогда стоило бы выложить код, как вы подключали Twig.
С авторизацией: просто уберите конструктор в контроллере, и приложение не будет требовать авторизацию. Если вы задумали так, что она все таки нужна, то оставляйте, и авторизуйте пользователя при выполнении любого метода контроллера.

По существу вам уже были даны два ответа: Finnish про использование TwigBridge, и javanub про авторизацию. Я же вам дам совет использовать пока Blade и вернуть все как было.

проверить в .env DB_HOST заменить на 127.0.0.1, возможно mysql создает сокет в /var/run/mysql/mysql.sock
php.ini тогда так:
mysql.default_socket = /var/run/mysqld/mysqld.sock
mysqli.default_socket = /var/run/mysqld/mysqld.sock
pdo_mysql.default_socket = /var/run/mysqld/mysqld.sock

Или как узнать сокет:
$ mysql -uroot -p
mysql> show variables like '%sock%';

покажет путь сокета, останется прописать в php.ini