С чего вы решили что просто переименовав файлы blade.php на twig у вас будет twig работать?
У Ларавел свой шаблонизатор. Для того чтобы пользоваться твигом, надо его подключать. Надо подключить Twig в ядре приложения. А не просто переименовать файлы или установить его.
Другой вопрос зачем вам это, если уже есть шаблонизатор встроенный? Надо реально понимать отличия или необходимость, чтобы прийти к замене одного шаблонизатора на другой.
И причем тут твиг и перенаправление на авторизацию? Твиг на это никак не влияет. Вам уже ответили что перенаправление на авторизацию срабатывает из-за добавленной в конструктор контроллера строки
$this->middleware('auth')
. Этим самым вы вызываете middleware авторизации, что означает что, пока вы не авторизуетесь, у вас контроллер не будет работать.
Вы смысл того что вы пишите понимаете? Или стоит все таки разобраться с основами?
Если разобрались, тогда стоило бы выложить код, как вы подключали Twig.
С авторизацией: просто уберите конструктор в контроллере, и приложение не будет требовать авторизацию. Если вы задумали так, что она все таки нужна, то оставляйте, и авторизуйте пользователя при выполнении любого метода контроллера.
По существу вам уже были даны два ответа:
Finnish про использование TwigBridge, и
javanub про авторизацию. Я же вам дам совет использовать пока Blade и вернуть все как было.