Хотелось бы интегрировать в уме, получая правильные ответы.
В прикладном смысле - нет ничего проще, любой толковый инженер-конструктор рассчитывает приблизительное численное значение интеграла по несколько раз на дню. Тут дело в том, что интеграл - это просто площадь фигуры, образованной графиком функции в заданных границах, а прикинуть площадь фигуры можно даже на глазок с достаточной для практики точностью.
Кроме того, не надо забывать, что интеграл - это просто-напросто сумма (не зря же он обозначается вытянутой буквой S). Если фигуру графика функции можно выложить из соприкасающихся вплотную прямоугольников (а площадь прямоугольника рассчитывается в уме за полторы секунды), то сложив их площади, вы и получите искомое численное значение интеграла этой функции. Чем меньше будет пропусков в этом выкладывании, тем точнее полученное значение интеграла.
Продолжение в комментариях к тексту вопроса.