Как сделать пробел после ввода 3 символов во Vue?

В input[type=number] пробелы не используются. Используйте type="text".

Как обрезать текст под ширину дива?

Или просто погуглите готовые "библиотеки" :)

:Disabled кнопку поиска, если хоть одно поле не валидно?

WapSter, в вопросе указано "скрыть кнопку поиска"

Как сделать вечно кликающий курсор?

asd dsa, посмотрите сюда - https://css-tricks.com/using-css-cursors/#using-a-... , может быть это ваш случай

Как сделать вечно кликающий курсор?

Можете привести примеры, о чем вы пишите?

Как указать тип данных для input c помощью Vuejs и TS?

У вас и переменная test имеет строковый тип, и значение внутри тега input тоже строкового типа. Вам правильно ответили про сложение двух строк

Почему вводимое в числовое поле значение немедленно сбрасывается?

Сорри, зачитался вопросами и дошел до вопроса полугодовой давности..)

Почему вводимое в числовое поле значение немедленно сбрасывается?

Посмотрите в сторону компонента Input, где вы одновременно указываете v-bind="$attrs" и value тегу . Вы внутри App вызываете этот компонент и передаете в него v-model (value+@input). Получается, что тегу передается сначала value=$attrs.value, а ниже - value=localValue