В обшем, проблема была не в настройках nginx, а в одноразовости (?) объекта Response. Непонятно почему работало на тесте. Решилось вот так:
private Client client = ClientBuilder.newClient();
    @GET
    @Path("{code}")
    public Response getContentLink(@PathParam("code") String code) {
        Response response = client
                .target(shortUrlService.getCommonUrl(code)) //получение длинной ссылки из базы
                .request(MediaType.TEXT_HTML)
                .get();
        return Response
                .status(response.getStatus())
                .entity(response.getEntity())
                .build();
    }