Тимофей

Потому что при наследовании нельзя изменять доступность функции. Если нужен синглтон, то ты по определению не сможешь унаследоваться от класса с открытым конструктором. А сделано это для того, чтобы объект любого класса, унаследованного от данного, гарантированно обладал всеми функциями родителя, в частности и возможностью создания новых объектов. Иначе теряется смысл наследования.

Выглядит неплохо, но лучше передавать функцию не в конструктор, а в какой-нибудь метод. Тогда для конфигурируемых подобным образом классом можно будет использовать примесь, что-то типа такого:

trait ClosureConfigurable {
    public function configureWith(Closure $closure) {
        $closure($this);
    }
}

Таким образом конструктор не будет содержать дополнительный код, а логику работы примеси можно будет безболезненно менять и дополнять (например, ставить замыкания в очередь, передавать им дополнительные параметры, сделать условную конфигурацию и т.п.).

3 заветных слова: наследование, инкапсуляция, полиморфизм. По ним можно много нагуглить.
Элементарный пример нарушения принципа инкапсуляции - объявление public поля класса. Нужно все поля делать private, а доступ к ним организовывать через методы доступа типа get..., set... или как-то более прозрачно, если позволяет язык (__get, __set в php, свойства в C#). По наследованию и полиморфизму накосячить уже сложнее, так как этого не позволит синтаксис скорее всего. Хотя кто знает, какие у человека есть скрытые возможности...

Вообще лучше сделать это через __set, __get, чтобы не было некрасивых записей типа $obj -> set/getName, а просто обращаться к name так, как будто это поле объекта. Ну а sanitize нужно вызывать как static::sanitize. Только добавь к методу sanitize static. А, ну и обязательно нужно сделать PRIVATE $name, а то смысл инкапсулирования теряется.