Вячеслав: При формировании списка на фронте делаем так чтобы при нажатии на кнопку на сервер отправлялся id элемента в массиве. На сервере получаем этот id и удаляем запись, отравляем ответ что все ок, js перезагружает страницу или перерисовывает ее.
Это если словами, код вы должны сами написать, за вас его никто писать не будет, в интернете полно литературы на эту тему, не ленитесь почитать и поискать.
Зачем отправлять форму? Достаточно отправить id элемента в массиве. А на сервере уже просто сделать:
unset($_SESSION['cart'][$_POST['id']]), где $_POST['id'] - тот самый id элемента
Это если словами, код вы должны сами написать, за вас его никто писать не будет, в интернете полно литературы на эту тему, не ленитесь почитать и поискать.