Начнем с того что я удивлен что форма вообще отправляется, ведь тип кнопки должен быть
submit, а не
button.
А что бы добавить имя отправителя, используйте заголовки
<?php
if ($_POST['submit']) {
$mailForReport = 'admin@example.com'; // Мейл куда будут отчеты приходить
$senderName = 'Раб Виталий'; // Имя отправителя
$senderLogin = 'rab_vitalii'; // Логин отправителя
$subject = 'Заявка c сайта'; // Тема письма
$headers = [ // Заголовки
'From' => "{$senderName} <{$senderLogin}@{$_SERVER['HTTP_HOST']}>",
'Reply-To' => "{$senderName} <{$senderLogin}@{$_SERVER['HTTP_HOST']}>",
'X-Mailer' => 'PHP/' . phpversion(),
'Content-type' => 'text/html; charset=utf-8'
];
// Красивенько отправим все табличкой, а не переносами
$msg = <<<HTML
<table>
<tr><td>Имя</td><td>{$_POST['name']}</td></tr>
<tr><td>Фамилия</td><td>{$_POST['surname']}</td></tr>
<tr><td>Телефон</td><td>{$_POST['phone']}</td></tr>
<tr><td>Почта</td><td>{$_POST['email']}</td></tr>
<tr><td>Текст</td><td>{$_POST['text']}</td></tr>
</table>
HTML;
$isSended = mail($mailForReport, $subject, $msg, $headers);
}
?>
<meta charset="utf-8">
<?php if ( isset($isSended) ) :?>
<p><?= $isSended ? 'Письмо отправленно' : 'Не удалось отправить письмо' ?></p>
<?php endif; ?>
<form id="callback-form" action="<?= $_SERVER['SCRIPT_NAME'] ?>" method="post" style="width: 300px">
<input type="text" name="name" placeholder="Имя" required>
<input type="text" name="surname" placeholder="Фамилия" required>
<input type="number" name="phone" placeholder="Телефон" required>
<input type="email" name="email" placeholder="Email" required>
<textarea name="text" cols="30" rows="10" placeholder="Введите текст" required></textarea>
<input type="submit" name="submit" value="Отправить форму">
</form>
