Как-то так, ничего неожиданного:
<div class="row">
<div class="input-field col s12">
<select class="group-select" ref="select2" v-model="depart_select">
<optgroup v-for="department in departments" :key="department.id" :label="department.NameOtdel">
<option v-for="{NamePodrazdel, id} in department.NamePodrazdel" :key="id" :value="id">{{ NamePodrazdel }} </option>
</optgroup>
</select>
<label>Структурное подразделение</label>
</div>
</div>
И настучите по голове бэку который использует транслит и PascalCase в именах. (Если бэк тоже вы - настучите себе, ничего не поделать)
