Как установить соединение с помощью socket.io-client с API другого сайта?

Да, вам надо написать запрос в теле callback.
На сокетах такое делать не рекомендуется.
Это должен быть http запрос по хорошему.
Покажите документацию или описание бота к которому подключаетесь