1) module - это глобальный объект. Прописывая exports.hello = hello, выполняется module.exports.hello = hello. Соответственно, если вам нужно их модуля экспортировать больше одного модуля, используйте exports.func = func. В противном случае пользуйтесь module.exports = func
2) как хотите. Но логичнее функции для работы с датой, например, хранить в одном файле, для работы с БД - в другом
3) функции
есть у вас файл functions.js:
const hello = (string) => {return 'Hello ' + string;}
exports.func = hello;
Чтобы воспользоваться этой функцией в другой файле выполните:
const api = require('./functions.js');
api.func('name');