У вас самый первый запрос возвращает все лайки, а вы записываете в переменные только последние. Отсюда и проблема
<?
require 'global_config.php';
$newsId = intval($_REQUEST['new']);
$nick = $_COOKIE['nick'];
$querybd = mysqli_query($connect, 'SELECT `yes` FROM `likenews` WHERE `nick`="'. $nick .'" AND `idnews` = '. $newsId .' LIMIT 1;');
if ($row = mysqli_fetch_array($querybd)) {
echo '<center>Вы уже ставили лайк этой записи.<br><a href="news.php">Обратно</a></center>';
} else {
$result = mysqli_query($connect, 'SELECT * FROM `news` WHERE `id` = '. $newsId .' LIMIT 1;');
if (mysqli_num_rows($result)) {
mysqli_query($connect, 'UPDATE `news` SET `like` = `like` + 1 WHERE `id` = '. $newsId .' LIMIT 1;');
mysqli_query($connect, 'INSERT INTO `likenews` (`nick`, `idnews`, `yes`) VALUES ("'. $nick .'", '. $newsId .', 1);');
echo '<center>Новость успешно лайкнута!<br><a href="news.php">Обратно</a></center>';
} else {
echo 'Новость не найдена!';
}
}