Можно с помощью bind

const handler1 = require('./handler1');
const handler2 = require('./handler2');

app.get('/first',  handler1.get.bind(handler1, {myParam: "Hello"}));
app.get('/second', handler2.get.bind(handler2, {myParam: "World"}));

exports.get = function(share, req, res, next) {
  console.log(share.myParam);
}

Хранить данные в памяти можно, но вот стоит ли. Основная проблема в том, что при хранении в памяти нет возможности шаринга данных между процессами, что приводит к невозможности масштабирования. Т.е. если один процесс перестанет справляется с нагрузкой, то при добавлении дополнительных процессов кеш будет дублироваться и при изменении данных кеши будут конфликтовать.
В итоге, вам нужно определиться какую нагрузку ожидаете. Если вы считаете, что один процесс справится с ней - то не вижу проблем хранить всё в памяти

На какой ОС вы работаете ?
Если linux, то вот так можно убить все процессы ноды
pkill node

Если винда, то попробуйте открыть диспетчер задач и убить все процессы с названием node

При передаче функции в setInterval она вызывается в контексте window(т.е. this у этой функции будет ссылаться на window). Для того, чтобы функция вызывалась в своем контексте, нужно переделать
setInterval(one.move, 100)

На
setInterval(function(){ one.move(); }, 100)

Вот вам исправленный вариант с запуском и остановкой движения
https://jsfiddle.net/uzuarvm4/6/