Капча в тильде есть в формах.
Я бы проверил такой способ - попробовать взять форму из tilda, пустую, без полей.
Если не получится создать пустую форму без полей, то можно с одним полем не обязательным и его скрыть на стилях, чтоб было невидимое.
Тогда останется только капча и кнопка отправить. А в окне Спасибо выводить номер телефона. Если тильда такое не даст сделать, тогда конечно сторонний сервер, туда слать ajax запросы.