Ну, что бы получить все видосы, вы должны в print_r подставить $mov а не $art, ведь $art -это элемент массива, или ставить print_r($art['place_of_location']) внутри foreach.

Чтобы передать id через js, нужно его вывести на странице с видео (или я чего то не понял), внутри атрибута, к примеру

id_video

. Затем логика в js такая:

$('#ajax-book').click(function(){
    var $card=$(this).parents('.uk-card');
    var id_video = $card.find("<<< Тут класификатор блока, в которм появится id>>>"). attr('id_video');
    $.ajax({
        url: 'inc/ajax-book.php',
        method: 'GET',
        data: {
            'video_id': id_video
        },
        dataType : "json",
        success: function(data) {
            console.log(data);
        }
    });
});

Ну, и соответственно в php принимаешь как;
$video_id = $_GET['video_id'];