В html документе у Вас ничего не выйдет. Сделайте файл index.php и в него вложите формы html.
Получится так:
<?php
require "class.php"; /*php файл с функциями, достаточно одного класса */
$class = new Class; /* Создавать новый класс php нужно до html кода*/
require "index.html"; /* Шапка сайта, где <head> и открывающийся <body>*/
require "form.html"; /* html код формы*/
$class->Auth(); /* вызываем php функцию авторизации*/
require "index0.html"; /* А тут только </body></html> закрываем теги html*/
?>
Сделаете так, а дальше для вас будет вопрос только написать класс в файле class.php с подключением к базе данных. Так лучше, потому что не будет путаницы.